Na primeira postagem desta série, vimos as definições dos Pontos de Brocard e suas construções geométricas. Nesta postagem, veremos algumas propriedades importantes, teoremas, corolários e suas respectivas demonstrações.
Por: Kleber Kilhian e Paulo Sérgio C. Lino
4 – Propriedades Importantes
Somente a construção geométrica dos Pontos de Brocard e sua demonstração, por si só, já é um fato interessantíssimo, e único, num triângulo qualquer. Durante este estudo, foram encontradas algumas propriedades e relações muito interessantes, apresentadas a seguir.
Teorema 1:
Em um triângulo $(T)=A_1A_2A_3$, existe um ponto único denotado por $\Omega$, tal que:
$$ \angle \Omega A_1A_2=\angle \Omega A_2A_3=\angle \Omega A_3A_1 $$Demonstração:
A existência deste ponto foi apresentada na postagem anterior. Para a unicidade, suponha que exista um ponto $\Omega$ no triângulo $(T)=A_1A_2A_3$, tal que:
$$ \angle \Omega A_1A_2=\angle \Omega A_2A_3=\angle \Omega A_3A_1 $$Assim, o segmento $A_2A_3$ é tangente em $A_2$ ao círculo $C_1$ que passa pelos pontos $A_1$, $\Omega$ e $A_2$. Isto pode ser provado observando que o triângulo $O_1 \Omega A_2$ é isósceles.
Pelas propriedades existentes num triângulo isósceles, segue que:
$$ \omega=\frac{\theta}{2}=\frac{\left(180^\circ -2\beta\right)}{2}=90^\circ - \beta \Rightarrow \beta + \omega=90^\circ $$Demonstrando, assim, que o segmento $A_2A_3$ é tangente ao círculo $C_1$ em $A_2$. Isto significa que $\Omega$ é um ponto em comum aos três círculos, sendo que os lados do triângulo $(T)$ são tangentes a cada círculo. Reciprocamente, é possível provar que os três círculos $C_1$, $C_2$ e $C_3$ — onde $C_1$ é tangente a $A_2A_3$ e passa por $A_1$; $C_2$ é tangente a $A_1A_3$ e passa por $A_2$; e finalmente $C_3$ é tangente a $A_1A_2$ e passa pelo ponto $A_3$ — são concorrentes em um único ponto que está necessariamente no interior do triângulo $(T)$. Desta forma, $\Omega$ é único.
Teorema 2:
Em um triângulo $(T)=A_1A_2A_3$, de ângulos internos $\alpha_1$, $\alpha_2$ e $\alpha_3$ e lados opostos $a_1$, $a_2$ e $a_3$, respectivamente, contendo o ponto $\Omega$, existe o ângulo $\omega$ tal que $\omega=\angle \Omega A_1A_2=\angle \Omega A_2A_3=\angle \Omega A_3A_1$, de modo que vale a relação:
$$ \cot(\omega)=\cot(\alpha_1)+\cot(\alpha_2)+\cot(\alpha_3) $$Demonstração:
Considere o triângulo abaixo:
Aplicando a lei dos senos no triângulo $A_1A_3\Omega$, obtemos:
$$ \frac{A_3\Omega}{\text{sen}(\alpha_1-\omega)}=\frac{a_2}{\text{sen}(180^\circ-\alpha_1)} $$ \begin{equation} \frac{A_3\Omega}{\text{sen}(\alpha_1-\omega)}=\frac{a_2}{\text{sen}(\alpha_1)} \end{equation}Note que, pelo Teorema do Ângulo Externo, $\alpha_1=\omega+(\alpha_1-\omega)$.
Analogamente, aplicando a lei dos senos no triângulo $A_2A_3\Omega$, obtemos:
$$ \frac{A_3\Omega}{\text{sen}(\omega)}=\frac{a_1}{\text{sen}(\alpha_1+\alpha_2)}=\frac{a_1}{\text{sen}(180^\circ -\alpha_1-\alpha_2)} $$ \begin{equation} \frac{A_3\Omega}{\text{sen}(\omega)}=\frac{a_1}{\text{sen}(\alpha_3)} \end{equation}Aplicando a lei dos senos no triângulo $A_1A_2A_3$, obtemos:
\begin{equation} \frac{a_1}{\text{sen}(\alpha_1)}=\frac{a_2}{\text{sen}(\alpha_2)} \end{equation}De $(1)$ e $(2)$, temos:
$$ \frac{a_2\cdot \text{sen}(\alpha_1-\omega)}{\text{sen}(\alpha_1)}=\frac{a_1 \cdot \text{sen}(\omega)}{\text{sen}(\alpha_3)} $$ \begin{equation} \frac{a_2}{a_1}=\frac{\text{sen}(\alpha_1)\cdot \text{sen}(\omega)}{\text{sen}(\alpha_1-\omega)\cdot \text{sen}(\alpha_3)} \end{equation}Mas de $(3)$, temos que:
$$ \frac{a_2}{a_1}=\frac{\text{sen}(\alpha_2)}{\text{sen}(\alpha_1)} $$De modo que:
$$ \frac{\text{sen}(\alpha_2)}{\text{sen}(\alpha_1)}=\frac{\text{sen}(\alpha_1)\cdot \text{sen}(\omega)}{\text{sen}(\alpha_1-\omega)\cdot \text{sen}(\alpha_3)} $$ \begin{equation} \frac{\text{sen}(\alpha_1-\omega)\cdot \text{sen}(\alpha_2)\cdot \text{sen}(\alpha_3)}{\text{sen}(\alpha_1)\cdot \text{sen}(\omega)}=\text{sen}(\alpha_1) \end{equation}Como $\alpha_1+\alpha_2+\alpha_3=180^\circ$, temos:
$$ \text{sen}(\alpha_1)=\text{sen}(180^\circ -\alpha_2-\alpha_3) $$ \begin{equation} \text{sen}(\alpha_1)=\text{sen}(\alpha_2+\alpha_3) \end{equation}Substituindo $(6)$ em $(5)$, obtemos:
\begin{equation} \frac{\text{sen}(\alpha_1-\omega)\cdot \text{sen}(\alpha_2)\cdot \text{sen}(\alpha_3)}{\text{sen}(\alpha_1)\cdot \text{sen}(\omega)}=\text{sen}(\alpha_2+\alpha_3) \end{equation}Sabe-se que:
$$ \text{sen}(\alpha_1-\omega)=\text{sen}(\alpha_1)\cdot \cos(\omega)-\text{sen}(\omega)\cdot \cos(\alpha_1) $$De modo que:
\begin{equation} \frac{\text{sen}(\alpha_1-\omega)}{\text{sen}(\alpha_1)\cdot \text{sen}(\omega)}=\cot(\omega)-\cot(\alpha_1) \end{equation}Substituindo $(8)$ em $(7)$, segue que:
$$ \left(\cot(\omega)-\cot(\alpha_1)\right) \cdot \text{sen}(\alpha_2)\cdot \text{sen}(\alpha_3)=\text{sen}(\alpha_2+\alpha_3) $$ $$ \left(\cot(\omega)-\cot(\alpha_1)\right) \cdot \text{sen}(\alpha_2)\cdot \text{sen}(\alpha_3)= \text{sen}(\alpha_2)\cdot \cos(\alpha_3)+\text{sen}(\alpha_3)\cdot \cos(\alpha_2) $$ $$ \cot(\omega)-\cot(\alpha_1)=\frac{\text{sen}(\alpha_2)\cdot \cos(\alpha_3)+\text{sen}(\alpha_3)\cdot \cos(\alpha_2)}{\text{sen}(\alpha_2)\cdot \text{sen}(\alpha_3)} $$ $$ \cot(\omega)-\cot(\alpha_1)=\cot(\alpha_3)+\cot(\alpha_2) $$ \begin{equation} \cot(\omega)=\cot(\alpha_1)+\cot(\alpha_2)+\cot(\alpha_3) \end{equation}Corolário 1:
Se $\alpha_1=\alpha_2=\alpha_3=60^\circ$, então:
$$ \omega = 30^\circ $$Demonstração:
Como $\alpha_1=\alpha_2=\alpha_3=60^\circ$, substituímos esses valores na expressão $(9)$:
$$ \cot(\omega)=3 \cot(60^\circ) $$ $$ \cot(\omega)=\frac{3}{\tan(60^\circ)}=\frac{3}{\sqrt{3}} $$ $$ \tan(\omega)=\frac{\sqrt{3}}{3} $$ $$ \omega=30^\circ $$Corolário 2:
Do Teorema 2, segue que:
$$ \cot^2(\omega)=\cot^2(\alpha_1)+\cot^2(\alpha_2)+\cot^2(\alpha_3)+2 $$Demonstração:
Elevando ao quadrado ambos os membros da expressão $(9)$, obtemos:
$$ \cot^2(\omega)=\left[\cot(\alpha_1)+\cot(\alpha_2)+\cot(\alpha_3)\right]^2 $$ \begin{equation} \cot^2(\omega)=\cot^2(\alpha_1)+\cot^2(\alpha_2)+\cot^2(\alpha_3)+2\cot(\alpha_1)\cot(\alpha_2)+2\cot(\alpha_1)\cot(\alpha_3)+2\cot(\alpha_2)\cot(\alpha_3) \end{equation}Observando a identidade trigonométrica:
$$ \cot(\alpha_1)\cot(\alpha_2)+\cot(\alpha_1)\cot(\alpha_3)+\cot(\alpha_2)\cot(\alpha_3)= $$ $$ =\cot(\alpha_1)\cot(\alpha_2)+\cot(\alpha_3)\left[\cot(\alpha_1)+\cot(\alpha_2)\right]= $$ $$ =\frac{\cos(\alpha_1)\cos(\alpha_2)}{\text{sen}(\alpha_1)\text{sen}(\alpha_2)}+\frac{\cos(180^\circ -\alpha_1-\alpha_2)}{\text{sen}(180^\circ -\alpha_1-\alpha_2)}\cdot \left[\cot(\alpha_1)+\cot(\alpha_2)\right]= $$ $$ =\frac{\cos(\alpha_1)\cos(\alpha_2)}{\text{sen}(\alpha_1)\text{sen}(\alpha_2)}-\frac{\cos(\alpha_1+\alpha_2)}{\text{sen}(\alpha_1+\alpha_2)}\cdot \left[\frac{\cos(\alpha_1)\text{sen}(\alpha_2)+\cos(\alpha_2)\text{sen}(\alpha_1)}{\text{sen}(\alpha_1)\text{sen}(\alpha_2)}\right]= $$ $$ =\frac{\cos(\alpha_1)\cos(\alpha_2)}{\text{sen}(\alpha_1)\text{sen}(\alpha_2)}-\frac{\cos(\alpha_1+\alpha_2)}{\text{sen}(\alpha_1)\text{sen}(\alpha_2)}= $$ $$ =\frac{\cos(\alpha_1)\cos(\alpha_2)-\left[\cos(\alpha_1)\cos(\alpha_2)-\text{sen}(\alpha_1)\text{sen}(\alpha_2)\right]}{\text{sen}(\alpha_1)\text{sen}(\alpha_2)}= $$ $$ =\frac{\text{sen}(\alpha_1)\text{sen}(\alpha_2)}{\text{sen}(\alpha_1)\text{sen}(\alpha_2)}=1 $$Assim, da expressão $(10)$, segue que:
\begin{equation} \cot^2(\omega)=\cot^2(\alpha_1)+\cot^2(\alpha_2)+\cot^2(\alpha_3)+2 \end{equation}Corolário 3:
Do Teorema 2, segue que:
$$ \frac{1}{\text{sen}^2(\omega)}=\frac{1}{\text{sen}^2(\alpha_1)}+\frac{1}{\text{sen}^2(\alpha_2)}+\frac{1}{\text{sen}^2(\alpha_3)} $$Demonstração:
A partir da expressão $(11)$, aplicando a relação trigonométrica fundamental ($\cos^2(\theta)+\text{sen}^2(\theta)=1$):
$$ \frac{\cos^2(\omega)}{\text{sen}^2(\omega)}=\frac{\cos^2(\alpha_1)}{\text{sen}^2(\alpha_1)}+\frac{\cos^2(\alpha_2)}{\text{sen}^2(\alpha_2)}+\frac{\cos^2(\alpha_3)}{\text{sen}^2(\alpha_3)}+2 $$ $$ \frac{1-\text{sen}^2(\omega)}{\text{sen}^2(\omega)}=\frac{1-\text{sen}^2(\alpha_1)}{\text{sen}^2(\alpha_1)}+\frac{1-\text{sen}^2(\alpha_2)}{\text{sen}^2(\alpha_2)}+\frac{1-\text{sen}^2(\alpha_3)}{\text{sen}^2(\alpha_3)}+2 $$ $$ \frac{1}{\text{sen}^2(\omega)}-1=\frac{1}{\text{sen}^2(\alpha_1)}-1+\frac{1}{\text{sen}^2(\alpha_2)}-1+\frac{1}{\text{sen}^2(\alpha_3)}-1+2 $$ \begin{equation} \frac{1}{\text{sen}^2(\omega)}=\frac{1}{\text{sen}^2(\alpha_1)}+\frac{1}{\text{sen}^2(\alpha_2)}+\frac{1}{\text{sen}^2(\alpha_3)} \end{equation}Na próxima postagem, apresentaremos outros teoremas a respeito dos pontos de Brocard.
Oi, Kleber!
ResponderExcluirSem dúvidas, aqui no Brasil, qualquer outro trabalho com pesquisa virtual sobre os pontos de Brocard terá como referência o seu, tendo em vista a profundidade e sem falar dos belos diagramas.
Parabéns pelo post! Tenho certeza que, ao fazê-lo, vc deu uma boa massageada nos neurônios, particularmente no exercício da trigonometria.
Um abraço.
Olá Aloísio!
ResponderExcluirRealmente o Brasil ainda é pobre de cultura científica, espero que um dia possamos nos equiparar com países como EUA, Inglaterra e França, por exemplo.
Esta série sobre Brocard ficou muito legal. Com a grande ajuda do Paulo tornou-se um estudo aprofundado e digo que nem lá fora possui tais demonstrações com a beleza que só o Paulo consegue dar.
O difícil é digitar tantas fórmulas trigonométricas em $\LaTeX$. No meu computador a tecla [ \ ] não existe, e tudo fica mais difícil, dá-lhe ctrlC+ctrlV.
Grande abraço!