Os Pontos de Brocard (Parte 2)

Na primeira postagem desta série, vimos as definições dos Pontos de Brocard e suas construções geométricas. Nesta postagem, veremos algumas propriedades importantes, teorema, corolários e suas respectivas demonstrações.

Por: 

Kleber Kilhian

Paulo Sérgio C. Lino

4 - Propriedades Importantes

Somente a construção geométrica dos Pontos de Brocard e sua demonstração, por si só, já é um fato interessantíssimo, e único, num triângulo qualquer. Durante este estudo, foi encontrada algumas propriedades e relações muito interessantes, que seguem a seguir.

Teorema 1: Em um triângulo $(T)=A_1A_2A_3$, existe um ponto único denotado por $\Omega$, tal que:

$$\angle \Omega A_1A_2=\angle \Omega A_2A_3=\angle \Omega A_3A_1$$

Demonstração: A existência deste ponto foi apresentada na postagem anterior. Para a unicidade, suponha que exista um ponto $\Omega$ no triângulo $(T)=A_1A_2A_3$, tal que:

$$\angle \Omega A_1A_2=\angle \Omega A_2A_3=\angle \Omega A_3A_1$$

Assim, o segmento $A_2A_3$ é tangente em $A_2$ ao círculo $C_1$ que passa pelos pontos $A_1$, $\Omega$ e $A_2$. Isto pode ser provado observando que o triângulo $O_1 \Omega A_2$ é isósceles.

[Figura 8]

Pelas propriedades existentes num triângulo isósceles, segue que:
$$\omega=\frac {\theta}{2}=\frac{\left (180^\circ -2\beta \right )}{2}=90^\circ - \beta \Rightarrow$$
$$\beta + \omega=90^\circ$$

Demonstrando, assim, que o segmento $A_2A_3$ é tangente ao círculo $C_1$ em $A_2$. Isto significa que $\Omega$ é um ponto em comum aos três círculos, sendo que os lados do triângulo $(T)$ são tangentes a cada círculo. Reciprocamente é possível provar que os três círculos $C_1$, $C_2$ e $C_3$ onde $C_1$ é tangente a $A_2A_3$ e passa por $A_1$; $C_2$ é tangente a $A_1A_3$ e passa por $A_2$ e finalmente $C_3$ é tangente a $A_1A_2$ e passa pelo ponto $A_3$ são concorrentes em um único ponto que está necessariamente no interior do triângulo $(T)$. Desta forma, $\Omega$ é único.

Teorema 2: Em um triângulo $(T)=A_1A_2A_3$, de ângulos internos $\alpha_1$, $\alpha_2$ e $\alpha_3$ e lados opostos $a_1$, $a_1$ e $a_3$, respectivamente, contendo o ponto $\Omega$, existe o ângulo $\omega$ tal que $\omega=\angle \Omega A_1A_2=\angle \Omega A_2A_3=\angle \Omega A_3A_1$, de modo que vale a relação:

$$\cot (\omega)=\cot (\alpha_1)+\cot (\alpha_2)+\cot (\alpha_3)$$
Demonstração: Considere o triângulo abaixo:

[Figura 9]

Aplicando a lei dos senos no triângulo $A_1A_3\Omega$, obtemos:
$$\frac{A_3\Omega}{\text {sen}(\alpha_1-\omega)}=\frac{a_2}{\text{sen}(180^\circ-\alpha_1)}$$
$$\begin{equation} \frac{A_3\Omega}{\text{sen}(\alpha_1-\omega)}=\frac{a_2}{\text{sen}(\alpha_1)} \end{equation}$$
Note que pelo Teorema do Ângulo Externo $\alpha_1=\omega+(\alpha_1-\omega)$.

Analogamente, aplicando a lei dos senos no triângulo $A_2A_3\Omega$, obtemos:
$$\frac{A_3\Omega}{\text {sen}(\omega)}=\frac{a_1}{\text {sen}(\alpha_1+\alpha_2)}=\frac{a_1}{\text {sen}(180^\circ -\alpha_1-\alpha_2)}$$
$$\begin{equation} \frac{A_3\Omega}{\text {sen}(\omega)}=\frac{a_1}{\text {sen}(\alpha_3)} \end{equation}$$
Aplicnado a lei dos senos no triângulo $A_1A_2A_3$, obtemos:
$$\begin{equation} \frac{a_1}{\text {sen}(\alpha_1)}=\frac{a_2}{\text{sen}(\alpha_2)} \end{equation}$$
De $(1)$ e $(2)$, temos:
$$\frac{a_2\cdot \text {sen}(\alpha_1-\omega)}{\text {sen}(\alpha_1)}=\frac{a_1 \cdot \text {sen}(\omega)}{\text {sen}(\alpha_3)}$$
$$\begin{equation} \frac{a_2}{a_1}=\frac{\text {sen}(\alpha_1)\cdot \text {sen}(\omega)}{\text {sen}(\alpha_1-\omega)\cdot \text{sen}(\alpha_3)} \end{equation}$$
Mas de $(3)$, temos que:
$$\frac{a_2}{a_1}=\frac{\text {sen}(\alpha_2)}{\text {sen}(\alpha_1)}$$
De modo que:
$$\frac{\text {sen}(\alpha_2)}{\text {sen}(\alpha_1)}=\frac{\text {sen}(\alpha_1)\cdot \text {sen}(\omega)}{\text {sen}(\alpha_1-\omega)\cdot \text {sen}(\alpha_3)}$$
$$\begin{equation} \frac{\text {sen}(\alpha_1-\omega)\cdot \text {sen}(\alpha_2)\cdot \text {sen}(\alpha_3)}{\text {sen}(\alpha_1)\cdot \text {sen} (\omega)}=\text {sen}(\alpha_1) \end{equation}$$
Mas, $a_1+a_2+a_3=180^\circ$, de modo que:
$$\text {sen}(\alpha_1)=\text{sen}(180^\circ -\alpha_2-\alpha_3)$$
$$\begin{equation} \text {sen}(\alpha_1)=\text{sen} (\alpha_2+\alpha_3) \end{equation}$$
Substituindo $(6)$ em $(5)$, obtemos:
$$\begin{equation} \frac{\text {sen}(\alpha_1-\omega)\cdot \text {sen}(\alpha_2)\cdot \text {sen}(\alpha_3)}{\text {sen}(\alpha_1)\cdot \text{sen}(\omega)}=\text {sen}(\alpha_2+\alpha_3) \end{equation}$$
Mas,
$$\text {sen}(\alpha_1-\omega)=\text {sen}(\alpha_1)\cdot \cos(\omega)-\text {sen}(\omega)\cdot \cos(\alpha_1)$$
De modo que:
$$\begin{equation} \frac{\text {sen}(\alpha_1-\omega)}{\text {sen}(\alpha_1)\cdot \text {sen}(\omega)}=\cot(\omega)-\cot(\alpha_1) \end{equation}$$
Substituindo $(8)$ em $(7)$, segue que:
$$\left (\cot (\omega)-\cot (\alpha_1)\right) \cdot \text {sen}(\alpha_2)\cdot \text{sen}(\alpha_3)=\text{sen}(\alpha_2+\alpha_3)$$
$$\left (\cot (\omega)-\cot (\alpha_1)\right) \cdot \text {sen}(\alpha_2)\cdot \text{sen}(\alpha_3)= \text {sen}(\alpha_2)\cdot \cos(\alpha_3)+\text {sen}(\alpha_3)\cdot \cos (\alpha_2)$$
$$\cot(\omega)-\cot(\alpha_1)=\frac{\text {sen}(\alpha_2)\cdot \cos(\alpha_3)+\text {sen}(\alpha_3)\cdot \cos(\alpha_2)}{\text {sen}(\alpha_2)\cdot \text {sen}(\alpha_3)}$$
$$\cot (\omega)-\cot (\alpha_1)=\cot (\alpha_3)+\cot (\alpha_2)$$
$$\begin{equation} \cot (\omega)=\cot (\alpha_1)+\cot(\alpha_2)+\cot (\alpha_3) \end{equation}$$
Corolário 1: Se $\alpha_1=\alpha_2=\alpha_3=60^\circ$, então:
$$\omega =30^\circ$$  
Demonstração: Como $\alpha_1=\alpha_2=\alpha_3=60^\circ$, fatoramos a expressão $(9)$:
$$\begin{matrix} \cot (\omega)=3 \cot (60^\circ)\\ \cot (\omega)=\frac{3}{\tan (60^\circ)}=\frac{3}{\sqrt {3}}\\ \tan (\omega)=\frac{\sqrt{3}}{3}\\ \omega=30^\circ\\ \end{matrix}$$

Corolário 2: Do Teorema $2$, segue que:
$$\cot^2(\omega)=\cot^2(\alpha_1)+\cot^2(\alpha_2)+\cot^2(\alpha_3)+2$$

Demonstração: Elevando ao quadrado ambos os membro da expressão $(9)$, obtemos:

$$\cot^2(\omega)=\biggr[\cot(\alpha_1)+\cot(\alpha_2)+\cot(\alpha_3)\biggr]^2$$
$$\begin{equation} \begin{matrix} \cot^2(\omega)=\cot^2(\alpha_1)+\cot^2(\alpha_2)+\cot^2(\alpha_3)+\\ 2\cot(\alpha_1)\cot(\alpha_2)+2\cot(\alpha_1)\cot(\alpha_3)+\\ 2\cot(\alpha_2)\cot(\alpha_3)\\ \end{matrix} \end{equation}$$
Mas,
$$\cot(\alpha_1)\cot(\alpha_2)+\cot(\alpha_1)\cot(\alpha_3)+\cot(\alpha_2)\cot(\alpha_3)=$$
$$=\cot(\alpha_1)\cot(\alpha_2)+\cot(\alpha_3)\left[\cot(\alpha_1)+\cot(\alpha_2)\right]=$$
$$=\frac{\cos(\alpha_1)\cos(\alpha_2)}{\text{sen}(\alpha_1)\text {sen}(\alpha_2)}+\frac{\cos(180^\circ -\alpha_1-\alpha_2)}{\text {sen}(180^\circ -\alpha_1-\alpha_2)}\cdot \left[\cot(\alpha_1)+\cot(\alpha_2)\right]=$$
$$=\frac{\cos(\alpha_1)\cos(\alpha_2)}{\text{sen}(\alpha_1)\text{sen}(\alpha_2)}-\frac{\cos(\alpha_1+\alpha_2)}{\text{sen}(\alpha_1+\alpha_2)}\cdot \left[\frac {\cos(\alpha_1)\text{sen}(\alpha_1)+\cos(\alpha_2)\text{sen}(\alpha_2)}{\text{sen}(\alpha_1)\text{sen}(\alpha_2)}\right]=$$
$$=\frac{\cos(\alpha_1)\cos(\alpha_2)}{\text{sen}(\alpha_1)\text{sen}(\alpha_2)}-\frac{\cos(\alpha_1+\alpha_2)}{\text{sen}(\alpha_1)\text{sen}(\alpha_2)}=$$
$$=\frac{\cos(\alpha_1)\cos(\alpha_2)-\left[\cos(\alpha_1)\cos(\alpha_2)-\text{sen}(\alpha_1)\text{sen}(\alpha_2)\right]}{\text{sen}(\alpha_1)\text{sen}(\alpha_2)}=$$
$$\frac{\text{sen}(\alpha_1)\text{sen}(\alpha_2)}{\text{sen}(\alpha_1)\text{sen}(\alpha_2)}=1$$
Assim, da expressão $(10)$ segue que:
$$\begin{equation} \cot^2(\omega)=\cot^2(\alpha_1)+\cot^2(\alpha_2)+\cot^2(\alpha_3)+2 \end{equation}$$

Corolário 3: Do Teorema $2$, segue que:
$$\frac{1}{\text{sen}^2(\omega)}=\frac{1}{\text{sen}^2(\alpha_1)}+\frac{1}{\text{sen}^2(\alpha_2)}+\frac{1}{\text{sen}^2(\alpha_3)}$$

Demonstração: da expressão $11$, de outro modo, usando a relação trigonométrica fundamental:

$$\cos^2(\theta)+\text{sen}^2(\theta)=1$$
De fato:
$$\frac{\cos^2(\omega)}{\text{sen}^2(\omega)}=\frac{\cos^2(\alpha_1)}{\text{sen}^2(\alpha_1)}+\frac{\cos^2(\alpha_2)}{\text{sen}^2(\alpha_2)}+\frac{\cos^2(\alpha_3)}{\text{sen}^2(\alpha_3)}+2$$
$$\frac{1-\text{sen}^2(\omega)}{\text{sen}^2(\omega)}=\frac{1-\text{sen}^2(\alpha_1)}{\text{sen}^2(\alpha_1)}+\frac{1-\text{sen}^2(\alpha_2)}{\text{sen}^2(\alpha_2)}+\frac{1-\text{sen}^2(\alpha_3)}{\text{sen}^2(\alpha_3)}+2$$
$$\frac{1}{\text{sen}^2(\omega)}-1=\frac{1}{\text{sen}^2(\alpha_1)}-1+\frac{1}{\text{sen}^2(\alpha_2)}-1+\frac{1}{\text{sen}^2(\alpha_3)}-1+2$$
$$\begin{equation} \frac{1}{\text{sen}^2(\omega)}=\frac{1}{\text{sen}^2(\alpha_1)}+\frac{1}{\text{sen}^2(\alpha_2)}+\frac{1}{\text{sen}^2(\alpha_3)} \end{equation}$$

Na próxima postagem, apresentaremos outros teoremas a respeito dos pontos de Brocard.

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Veja mais:

Os Pontos de Brocard (Parte 1)
Os Pontos de Brocard (Parte 3)
Adição e Subtração de Arcos
A Relação Trigonométrica Fundamental

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